CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR (Práctica Nº 8)

Objetivos: Estudiar el comportamiento de la descarga (carga) de un condensador y deducir de allí su capacidad.

Fundamento teórico:

Consideramos el circuito de la Fig. 1. Tanto el circuito de carga (conmutador en la posición 1) como el de descarga (posición 2), representa un circuito RC. En un circuito RC, la corriente no es estacionaria, sino varía con el tiempo. Mediante las leyes de Kirchhoff podemos obtener las ecuaciones que relacionen la carga Q y la corriente I en función del tiempo, tanto en el proceso de carga como en el de descarga de un condensador C a través de una resistencia R.

La descarga de un condensador:

El condensador se ha inicialmente cargado con la carga Q0 a través de la resistencia de carga RC (conmutador en la posición 1, la fuente aplica un potencial V0 al circuito RcC). La d.d.p. a través del condensador es V0 = Q0/C. En t = 0 pasamos el interruptor a la posición 2, se cierra el circuito de descarga, la d.d.p. V0 está ahora aplicada a los extremos de la resistencia de descarga Rd y la corriente inicial que fluye en el circuito de descarga es I0 = V0/Rd = Q0/RdC. Con el tiempo la corriente decrece debido a que la carga almacenada en el condensador disminuye. Si Q es la carga sobre el condensador en un instante cualquiera, la corriente en dicho momento es

I = -dQ/dt. (1)

Recorriendo el circuito en el sentido de la corriente, nos encontramos con una caída de potencial I·Rd en la resistencia de descarga y un aumento de potencial Q/C entre las placas del condensador. La primera regla de Kirchhoff nos da Q/C - I·Rd = 0,

y con (1) obtenemos: Q/C + Rd·dQ/dt. = 0, o sea, dQ/dt = -[1/RdC]·Q. Separando las variables Q y t, se obtiene dQ/Q = -dt/RdC e integrando resulta: lnQ = -t/RdC + A en donde A es la constante de integración. Tomando la exponencial de ambos miembros podemos escribir Q = B exp[-t/RdC]. Se obtiene la constante B = exp[A] teniendo en cuenta las condiciones iniciales Q = Q0 para t = 0. Por tanto:

Q(t) = Q0 exp[-t/RdC] = Q0 exp[-t/t ] (2)

en donde t es la constante del tiempo; el tiempo durante el cual la carga disminuye hasta 1/e de su valor original: t = RdC.

Como V(t) = (1/C) Q(t), se obtiene para la d.d.p. entre las placas del condensador

V(t) = V0 exp[-t/RdC] = V0 exp[-t/t ] (3)

El comportamiento temporal de la corriente se obtiene según (1) por diferenciación de la ecuación (2): I = -dQ/dt = (Q0/RdC) exp[-t/RdC] o sea,

I(t) = (V0/Rd) exp[-t/RdC] = I0 exp[-t/t ] (4)

en donde I0 = Q0/RdC = V0/Rd es la corriente inicial (para t = 0). Vemos que tanto la carga (o d.d.p.) del condensador como la corriente en el circuito disminuyen de forma exponencial.

Principio de la medida: Se mide el comportamiento temporal de descarga de un condensador. Se verifica que se trata de un comportamiento exponencial y se obtiene el valor de la capacidad del condensador por la consiguiente relación lineal entre lnV y t, y por la relación con la constante de tiempo conociendo el valor de Rd.

Método de medida de la capacidad.-

1) comportamiento exponencial

Se miden los tiempos que tarda el condensador en descargarse a través de una resistencia de descarga conocida Rd desde un valor inicial Q0 (equivalente a una d.d.p. V0 que podemos medir con un voltímetro puesto en paralelo al condensador) a distintos valores Q(t) (equivalente a V(t)). Se comprueba el comportamiento exponencial de descarga representando los puntos experimentales medidos (V, t) como lnV frente el tiempo t y ajustando a estos puntos (lnV, t) una recta por mínimos cuadrados. Según la ecuación (3) se obtiene lnV = lnV0 - (1/RdC)·t, donde - (1/RdC) es la pendiente de la recta del ajuste. Conociendo Rd se obtiene por lo tanto la capacidad C.

2) tiempo característico tm

Suponiendo un comportamiento exponencial como se muestra en las ecuaciones (2) a (4), la capacidad C puede obtenerse, midiendo el tiempo necesario para que la d.d.p. V entre los bornes del condensador caiga a la mitad de su valor inicial V0. Llamando tm a este intervalo de tiempo, tenemos: V(tm) = V0/2, sustituyendo esto en (3) y tomando el logaritmo se obtiene: ln2 = tm/RdC o sea, C = tm/(Rd ln2) = 1,443 tm/Rd.

Material: Fuente de c.c., condensador electrolítico (¡¡¡cuidado!!! tiene polaridad), conmutador, resistencia de carga (Rc<10kW ) y de descarga (tres resistencias Rd>10kW ), voltímetro de c.c. (polímetro analógico), cronómetro, polímetro digital

 

 

Desarrollo de la práctica.

  1. Montar el circuito de la Fig. 1, con una de las tres resistencias Rd. Colocar en paralelo con el condensador un voltímetro (escala de 10 V, tener en cuenta la polaridad). Al conectar la fuente de c.c. recordar que el condensador electrolítico tiene polaridad (se conecta + con + y - con -). Aplicar una tensión de salida de 10 V de c.c. Cerrar el circuito llevando el conmutador a la posición 1 (posición de carga). La aguja del voltímetro nos permite seguir el proceso de carga. Una vez cargado el condensador, pasamos el conmutador a la posición 2 (posición de descarga) y se observa la descarga mediante el voltímetro. Con el cronómetro se miden los tiempos que tarda el condensador en descargarse desde 9 V (y no desde 10 V lo que nos da tiempo a fijar la vista en el movimiento de la aguja) hasta 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 V de forma sucesiva repitiendo los procesos de carga y descarga del condensador. Una vez finalizadas estas medidas se cambia la resistencia de descarga Rd a otra y se procede como antes tomando los datos. Se toman así datos para las tres resistencias descarga.
  2. Para cada circuito RC se representa el ln V frente el tiempo t (tabla de datos medidos (V, t) y calculados (lnV)). A estos puntos experimentales se ajusta una recta por el método de mínimos cuadrados obteniéndose del valor de la pendiente determinando el valor de la capacidad del condensador (para cada resistencia de descarga se obtiene un valor de la capacidad, sin embargo, veremos que no coinciden estos valores determinados para la capacidad del condensador. ¿A qué se debe esto?). El coeficiente de correlación lineal del ajuste nos confirma que se trata de un comportamiento exponencial de descarga (r está cerca de 1).
  3. Se calculan los tiempos característicos tm de las medidas realizadas para cada circuito RC de la forma siguiente: intervalo de tiempo de 8 a 4 V, de 6 a 3 V, de 4 a 2 V y de 2 a 1 V. Se calculan los valores de la capacidad como se indico anteriormente dando finalmente (para cada circuito RC) la media con su error como mejor valor determinado para la capacidad. Para cada circuito RC se comparan los valores de C obtenidos por los dos métodos.

Cuestiones teóricas.

1.- Indicar cual es el valor de la intensidad de corriente al final de los procesos de carga y descarga. Justificar la respuesta.

2.- ¿Cómo será la gráfica de la tensión en bornes de la resistencia en los procesos de carga y descarga?

3.- ¿Porqué no coinciden los valores de la capacidad C obtenidos en los distintos circuitos RC? ¿Hay a lo mejor otra resistencia de descarga que no hemos tenido en cuenta? ¿Cuál es?